(資料圖)

本文嘗試不依靠高等數(shù)學的結(jié)論，僅利用初等數(shù)學知識輔以無窮小分析的思想來解釋循環(huán)與1的關(guān)系。希望大家可以提出問題意見并予以批評指正。

先闡述"循環(huán)"的性質(zhì):(1)是一種稱為“無限循環(huán)小數(shù)”的表示數(shù)的符號，是指小數(shù)點后有無數(shù)個9(用牛頓的話講就是“要多少個9就有多少個9”);(2)是一個數(shù)，和任何其他實數(shù)一樣，是確定的數(shù)，不是一個極限運算。為方便敘述，同時強調(diào)循環(huán)的符號性和常數(shù)性，設(shè)A=循環(huán)。下面分三步證明：一、首先構(gòu)造數(shù)列a(n)=...(小數(shù)點后n個9)，顯然有:"任取正整數(shù)N,有a(N)＜A"(因為前者小數(shù)點后只有有限個9，后者是無限個9;也可以根據(jù)小數(shù)比大小規(guī)則，比較小數(shù)點后第N+1位0＜9同樣得出該結(jié)論)從而有:"不等式丨A-1丨＜丨a(N)–1丨對于一切確定的正整數(shù)N都成立"二、下面將證明:"任取ε＞0(ε是一個變量，是用來衡量無窮小的指標，可以取任何正數(shù))，均有丨A-1丨＜ε"，分5小步證明：①對任意確定的正數(shù)ε，必存在正數(shù)S，使得εS＞1.(可以知道S是一個由ε決定的正數(shù)，取定一個ε，就可以找到至少一個與之對應的S，這是實數(shù)的阿基米德性得出的)②我們知道y=10^x這個函數(shù)的值域為(0,+∞)，顯然①中的S在該值域中，不妨設(shè)10^p=S,于是取正整數(shù)N=[p]+1，([]是取整函數(shù)，表示取p的整數(shù)部分)，又由y=10^x的單調(diào)性得出10^N≥10^p=S.③由①②并結(jié)合不等式的運算性質(zhì)，有ε＞1/S=1/(10^p)＞1/(10^N)④按照之前數(shù)列a(n)的定義，a(N)=(小數(shù)點后有N個9)，于是丨a(N)–1丨=...01(小數(shù)點后有(N-1)個0然后是一個1)=1/(10^N)⑤我們已經(jīng)在第一步證明了“不等式丨A-1丨＜丨a(N)–1丨對于一切確定的正整數(shù)N都成立”，那么由③④得出連不等式丨A-1丨＜丨a(N)–1丨=1/(10^N)＜ε三、丨A-1丨是兩個確定的數(shù)的差的絕對值，一定是一個定值。又因為絕對值有非負性，即丨A-1丨≥0假設(shè)丨A-1丨＞0，可以設(shè)丨A-1丨=δ＞0于是可以取ε=δ/2＞0(之前有說明ε可以取任意正數(shù)，所以當然可以取δ/2)，那么有丨A-1丨=δ＞δ/2=ε，這與之前證明的丨A-1丨＜ε矛盾，于是假設(shè)不成立，只能是丨A-1丨=0，解得A=1.